Hasil dari 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050

Tentukan hasil dari 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050 merupakan tipe soal yang sering keluar dalam olimpiade sains nasional. Dalam kesempatan ini, saya akan mencoba share bagaimana cara menyelesaikan soal seperti itu. Namun, cara ini bukan satu-satunya cara. Ini adalah salah satu alternative cara saja.

Tentukan hasil dari 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050!

Bila kita lihat, pola dari bilangan tersebut akan tampak pola dari bilangan-bilangan tersebut dari penyebutnya.

Penyebut bilangan pertama adalah 1 berasal dari 1*2/2
Penyebut bilangan kedua adalah 3 berasal dari 2*3/2
Penyebut bilangan ketiga adalah 6 berasal dari 3*4/2
Demikian seterusnya, hingga penyebut 5050 berasal dari 100*101/2

Jadi, bilangan 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050 bisa ditulis sebagai berikut!

1/1*2/2 + 1/2*3/2 + 1/3*4/2 + … 1/99*100 + 1/100*101/2

Bentuk operasi di atas, bisa kita ubah ke dalam bentuk di bawah ini.

2/1*2 + 2/2*3 + 2/3*4 + …. 2/99*100 + 2/100*101

Bentuk di atas bisa kita sederhanakan dengan mengeluarkan angka 2 sehingga bentuk operasi akan menjadi seperti di bawah ini

2(1/1*2 + 1/2*3 + 1/3*4 + … + 1/99*100 + 1/100*101)

Jika kita lihat,

1/1*2 sama hasilnya dengan 1/1-1/2,
1/2*3 sama dengan 1/2-1/3,
1/4*5 sama hasilnya dengan 1/4-1/5
dan seterusnya dampai dengan 1/9-1/100 dan 1/100-1/101.

Maka operasi tersebut bisa diubah ke dalam bentuk di bawah ini.

2(1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/99-1/100+1/100-1/101)

Bilangan yang berwarna merah akan menghasilkan nilai nol, sehingga operasi tersebut akan menjadi 2(1/1-1/101)

Dengan menyamakan penyebut, maka operasi tersebut akan menjadi

2(101-1/101) = 2(100/101) = 200/101

Untuk lebih jelas, bisa dilihat dalam gambar di bawah ini.

Demikianlah cara menyelesaikan hasil dari 1/1 + 1/3 + 1/6 + … + 1/5050. Sekali lagi, ini adalah salah satu cara alternative. Jika ada yang memiliki cara lain yang lebih sederhana, mungkin bisa sharing di kolom komentar di bawah.